Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
19:41 

О сверхбольших числах

istanaro
Lutar e vencer!
Итак, сверхбольшие числа. Каждый, кто хоть раз с ними соприкасался, наверняка испытывал мистическое чувство – и это еще не говоря о всяких странных чертах бесконечных множеств. И это немудрено – настолько они не вмещаются в нашу обыденную жизнь, для которой вполне хватает чисел до 10^10 – 10^15, и в сфере биологии (население Земли, количество клеток в живых существах...), и в сфере экономики (именно о таких порядках говорят при рассуждении о глобальных финансовых системах). Для «обычной» астрономии – а громадные числа изначально появились именно там – в общем хватает чисел до 10^28, именно столько сантиметров составляет радиус видимой части Вселенной. Еще совсем недавно, где-то в середине 80-х годов, говорилось (и на этот счет публиковались статьи в «Науке и жизни»), что самые большие физически осмысленные числа – где-то около 10^40. Ведь примерно столько и получается, если соотнести радиус видимой части Вселенной с классическими радиусами элементарных частиц, или время существования Вселенной к настоящему моменту с характерным ядерным временем – то есть тем временем, которое нужно лучу света, чтобы пересечь радиус атомного ядра, или сильное (ядерное) взаимодействие, самое мощное из четырех фундаментальных, с гравитационным, самым слабым из них.


А может ли быть что-нибудь еще большее? Ведь слово «гугол» -- 10^100 -- знают все, и так и хочется спросить: а соответствует ли он чему-нибудь? Количество частиц в наблюдаемой части Вселенной заметно меньше – около 10^80. Так что сказка из одной строчки – «девочка шла по улице и встретила гугол зайцев» (см. melbaa.livejournal.com/64335.html ) -- действительно звучит устрашающе. А количество возможных миров с разными наборами параметров с точки зрения теории струн (говоря строго, количество разных вакуумов теории струн, а если вспомнить, что вакуум – это состояние с наименьшей энергией, то естественно, что именно вакуум и определячет фундаментальные константы – как средние значения разных переменных в этом состоянии) еще больше – около 10^120 (см. arxiv.org/pdf/hep-th/0302219.pdf ). Это число в точности равно соотношению между теоретическим предсказанием для космологической постоянной и ее экспериментально измеренным значением и превосходит гугол. Более того, оно превосходит даже число Шеннона, появившееся как оценка числа возможных вариантов шахматной партии длиной в 40 ходов – 900^40, то есть примерно 10^118. Так что не стоит удивляться самым безумным допущениям о множественности миров... То есть на сегодняшний день 10^120 – наверно, самое большое физически осмысленное число. Хотя, впроче, есть в космологии числа и еще больше – некоторые модели инфляционной космологии говорят, что за время инфляционного раздувания Вселенная увеличилась в 10^(10^12) раз, см. arxiv.org/pdf/hep-th/0211048.pdf . (Upd. А вот здесь -- arxiv.org/pdf/0910.1589.pdf -- встречается и еще большее число -- до 10^(10^375) Вселенных, по некоторым другим, чуть "меньше" -- 10^(10^77), все эти оценки получены согласно оценкам из теории струн.)

Но самые большие числа «создает» все же не физика, а математика, причем дискретная, имеющая дело с целыми числами. Например, изначально появился вопрос – как оценить количество простых чисел, не превосходящих данного числа? Была сделана оценка, что оно не превосходит интегральный логарифм данного числа (то есть интеграл от 1/ln x от 2 до данного числа). Но... оказалось, что начиная с некоторого числа эта оценка уже неверна! С какого? Это число получило название первого числа Скьюза: Sk_1=e^e^e^79. А если не вводить дополнительных ограничений, то получается уже второе число Скьюза: Sk_2=10^10^10^1000. Это уже превосходит и самые безумные космологические выводы.

Но есть число гораздо больше чисел Скьюза и тоже появившееся в математических доказательствах. Называется – число Грэма. Впрочем, в столь простой форме, как предыдущие числа, его не записать – все его обьяснения предлагают по сути целый алгоритм его расчета -- www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/g/graham.htm . Или hijos.ru/2011/09/28/samye-bolshie-chisla-vo-vse... .

Конечно, кто-нибудь скажет: а как представить себе появление столь больших чисел? И напрашивается очень наивный ответ.
Представим себе, что мы летим на фотонной ракете. Допустим, что каким-то образом топливо у нас не ограничено. Совсем никак (кого это смущает, пусть вспомнит гостиницу с бесконечным числом номеров из «Рассказов о множествах» Виленкина). По мере того, как мы ускоряемся, мы видим, как энергии всего вокруг нас нарастают – в два раза, в три, больше... (для внешнего наблюдателя так нарастает наша энергия, но это неважно). И в некоторый момент эти энргии действительно выросли в гугол раз! А наша скорость, хоть и приблизилась очень сильно к скорости света, но так и не превзошла ее. Летим дальше – и вот энергии уже достигли числа Скьюза... а потом, через невообразимое время – и числа Грэма.

Но это все, конечно, игра. А суть в том, что в математике находится место почти любому масштабу чисел.

URL
Комментарии
2012-08-04 в 23:05 

Тётя Анюта
не мечите бисер перед свиньями
Очень интересно, но я хочу. чтобы красная шапочка втсретила ГУГЛ земляники :)))

2012-08-05 в 00:21 

istanaro
Lutar e vencer!
Кыыыыыысь.

URL
2012-08-05 в 17:12 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Да... Ограничен наш мир сравнительно с миром математических абстракций...

2012-08-05 в 17:19 

istanaro
Lutar e vencer!
А как последний пассаж? Что если фотонная ракета будет достаточно долго ускоряться, ее энергия станет равна числу Скьюза, а потом и числу Грэма? :) (бесконечности примерно так и появляются :) -- как сейчас вспомню книгу "Рассказы о множествах", где первое трансфинитное число появлялось при помощи тангенса -- когда мы наращиваем аргумент до "пи" пополам, значение функции как раз и становится равным этому числу, а перед этим она еще должна пройти и гугол, и число Скьюза, и число Грэма :) -- кстати, при наивном взгляде такая "домашняя" бесконечность чисто эмоционально кажется гораздо меньше числа Скьюза :) ).

URL
2012-08-05 в 17:40 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Ну, да, постепенно приближаясь к бесконечности, ее энергия должна пройти все конечные числа. :)
К счастью, на пути встают физические ограничения - на время, хотя бы... :)
И даже если пренебречь сугубо физическими эффектами, рано или поздно несчастная ракета обнаружит эффекты вероятностные :) :)

2012-08-05 в 17:43 

istanaro
Lutar e vencer!
А какие вероятностные эффекты? Просто ненулевая вероятность разных событий типа самопроизвольного закипания воды в чашке, что возможно, хоть и маловероятно?

URL
2012-08-05 в 17:45 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Да. Тунеллировать в состояние черной дыры, например... :)

2012-08-05 в 17:48 

istanaro
Lutar e vencer!
Ну это если и энергия достаточно велика, и лететь достаточно долго. А если на борту ракеты есть компьютер (с неограниченной памятью) и обезьяна за клавиатурой, она через некоторое время выдаст все собрание сочинений Шекспира :). Кстати, как я понимаю, число Шеннона и получается примерно так, через эту процедуру.

URL
2012-08-05 в 17:57 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
А если на борту ракеты есть компьютер (с неограниченной памятью) и обезьяна за клавиатурой, она через некоторое время выдаст все собрание сочинений Шекспира
Причем куда быстрее. :)

2012-08-05 в 18:03 

istanaro
Lutar e vencer!
Разумеется. Это что-то около 33^1 000 000 (или сколько там букв в собрании сочинений Шекспира, если не миллион, то около того).

URL
2012-08-05 в 18:21 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
А Раймунд Луллий в конце XIII века таким образом искренне надеялся совершать научные открытия. :)

2012-08-05 в 18:29 

istanaro
Lutar e vencer!
При этом встает проблема колоссального количества мусора. Плюс "проблема Вавилонской библиотеки": человек ищет в ней свою биографию, находит книгу, вроде все совпадает, и потом через какое-то время про некий день говорится: "в этот день он умер". А потом он находит другой том, тоже вроде со своей биографией, и про тот же день, но про тот же день говорится: "в этот день он НЕ умер". А про Луллия помню, кажется, про его машину еще Перельман писал в "Занимательной арифметике" (правда, у него было "всего лишь" 10^2000 книг).

URL
2012-08-05 в 18:52 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
При этом встает проблема колоссального количества мусора. На удивление, это в голову автору идеи не пришло. :)

А про Луллия помню, кажется, про его машину еще Перельман писал в "Занимательной арифметике" (правда, у него было "всего лишь" 10^2000 книг).
Там была, помнится, чудесная иллюстрацию недостатков метода Луллия: найти известную книгу, дочитать до середины и встретить там фразу: "когда Блюхер при Фермопилах женился на дагомейской королеве" :)

2012-08-05 в 19:01 

istanaro
Lutar e vencer!
Или просто фразу "у попа была собака" :). Собственно, эти фразы и иллюстрируют проблему мусора.

URL
2012-08-05 в 19:16 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Да.
Я бы ее назвал проблемой верификации - ну получил результат, а как узнать, что он правилен осмыслен, и плюсы с минусами в нем перепутаны четное число раз? :) :)

2012-08-05 в 19:33 

istanaro
Lutar e vencer!
Да, именно так -- проблема верификации.

URL
2012-08-05 в 20:03 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
И вот на решение этой проблемы экипажу будет отведено достаточно времени. :)
До спонтанного туннеллирования в черную дыру... :) :)

2012-08-05 в 20:30 

istanaro
Lutar e vencer!
Ну, туннелирование в черную дыру -- тоже процесс вероятностный :).

URL
2012-08-05 в 20:43 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
То есть, рано или поздно наступит :)

2012-08-05 в 21:39 

istanaro
Lutar e vencer!
А следующим шагом возродиться, будучи порожденным излучением Хокинга :).

URL
2012-08-05 в 21:53 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
В случайном виде... :)

2012-08-05 в 22:25 

istanaro
Lutar e vencer!
Ну, если сильно повезет, то и таким, как до падения в черную дыру :).

URL
2012-08-07 в 15:14 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
После перебора множества туннелирований - конечно. Рано или поздно. :)

Все-таки, бесконечность - это очень много... :
:) :) :) :)

2012-08-07 в 16:55 

istanaro
Lutar e vencer!
Ага :). По крайней мере если не апеллировать к пространству типа де-Ситтера, где точек с бесконечной координатой можно достичь, пройдя конечное расстояние...

URL
2012-08-07 в 17:09 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Нет, все должны быть бесконечным - и время и расстояние - чтобы дать возможность физике найти очень большие числа... Например, время, требуемое для спонтанного тунеллирования звездолета в черную дыру и последующего самопроизвольного восстановления из нее излучением Хокинга... :)

2012-08-07 в 19:11 

istanaro
Lutar e vencer!
Ага, а для полного комплекта разработать "невероятностную тягу", как у Дугласа Адамса в "Автостопе".

URL
2012-08-07 в 19:15 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
А удобная вещь...

2012-08-07 в 19:28 

istanaro
Lutar e vencer!
Ага, когда все появляется из ниоткуда. Кстати, ведь самопроизвольное закипание части воды в чашке при одновременном замерзании другой части там тоже было! Тоже ведь источник сверхбольших чисел, типа 2^(10^27), точнее, обратных к ним.

URL
2012-08-07 в 20:20 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
Вот-вот!
Именно так - в промежутках времени до спонтанных событий - физика может обставить математику!

2012-08-07 в 22:40 

istanaro
Lutar e vencer!
И то правда :). Это неспроста. Кстати, кто-то предлагал сверхбольшие числа называть не астрономическими, а комбинаторными, потому что они из комбинаторики берутся больше, чем откуда-либо.

URL
2012-08-07 в 22:43 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
А вот это - замечательна идея. Потому что астрономия сама по себе ничем выдающимся в этом смысле не отличается. :)

2012-08-07 в 23:11 

istanaro
Lutar e vencer!
Ага. Как только войдем в термодинамику, со всеми проблемами типа "через сколько примерно лет все молекулы газа соберутся в одной половине сосуда", появятся именно комбинаторные числа.

URL
2012-08-07 в 23:16 

Atandakil
El sueño de la razón produce monstruos
И тут сугубо математические задачи уступят место...

   

Звёзды нас ждут

главная