istanaro
Lutar e vencer!
Итак, красота в науке. О красоте как критерии истины для физической теории говорил еще Поль Дирак (см. его книгу «Воспоминания о необычайной эпохе», где этот мотив встречается не раз – а эпиграфом к этой книге избраны его слова, написанные им в 1955 г. на доске в МГУ: «Физические законы должны обладать математической красотой» -- впрочем, в той же книге Дирак говорит, что подобную идею высказывал еще Эйнштейн). Конечно же, говоря о красоте в науке, мы будем говорить сейчас именно о красоте физической теории (а значит, и математических конструкций, причем именно абстрактных, а не, к примеру, геометрических – геометрическая красота обычно видна с первого взгляда, это и симметрия, на которой основаны разные орнаменты, и подобие, на котором основаны фракталы).



Что это такое – красота? Прежде всего, красота в случае теории – это богатство содержания, которое, понятно, тем ярче, чем, с одной стороны, более универсален результат (например, физический закон), а с другой, более компактна его форма. Чаще всего это означает компактность формулы, выражающей этот результат. Наверно, самым ярким примером богатства содержания является электродинамика Максвелла, в которой всего на основе двух инвариантов можно получить уравнения, форма которых совершенно компактна и симметрична (в лоренц-ковариантной форме – их всего два), но при этом они описывают необыкновенно широкий спектр явлений, от совершенно практических задач до устройства мира и на микроскопическом уровне (атом), и на уровне Вселенной (излучение как один из главных видов материи в космологии).

Еще один явный признак красоты, связанный с первым – это скрытые возможности, не очевидные по изначальной формулировке теории -- то, что можно назвать «думающая теория». Подчас эти скрытые возможности оказываются совсем не предвидимыми обычным здравым смыслом (и не совместимыми со стереотипами здравого смысла, что особенно впечатляет), примером чего является история открытия античастиц – невозможно было и ожидать, что решение с отрицательной энергией имеет реальный смысл. Иногда эти скрытые возможности могут сигнализировать о какой-то еще более фундаментальной закономерности, которую невозможно было предвидеть с самого начала (как, скажем, уже не раз упомянутая зависимость результатов от способа вычисления в теориях с нарушением симметрии Лоренца означает нарушение законов сохранения – так называемые аномалии).

Частным случаем этого признака оказываются замечательные соотношения между разными элементами системы (или соотношения), приводящие к тому, что финальный результат обладает красотой, которой не обладают исходные выражения. Самым ярким примером такой красоты являются числа Фибоначчи, общая формула для которых включает иррациональные числа (разные степени числа, известного как «золотое сечение», то есть 1.61803..., и обратного к нему), однако, несмотря на это, все числа Фибоначчи – целые! К подобной же категории относятся и «чудесные сокращения» бесконечностей (это реальный термин в названии научной статьи!) в суперсимметричных теориях, из-за которых в некоторых случаях удается избавиться от бесконечностей полностью. Более простой пример подобного вида красоты – это множество красивых математических равенств, немалое число которых в свое время публиковалось в «Науке и жизни» в рубрике «Математические неожиданности», или, скажем, знаменитых равенств, выведенных Рамануджаном.

Еще один признак красоты – это гармония, наиболее яркой формой которой является симметрия. Эта симметрия прежде всего выражается в симметричной форме уравнений теории. В случае тех же уравнений Максвелла это, кроме лоренцевой симметрии, еще и симметрия между электрическим и магнитным полем, которая вызвала естественное желание искать аналог электрического заряда – магнитный заряд (магнитный монополь), существование которого вполне допускается теориями элементарных частиц наподобие разных версий Теории Великого Объединения. Более того, в некоторых случаях именно эта симметрия позволяет предвидеть свойства решения, то есть получать решение без вычислений. А в математике именно симметрия обусловливает красоту многих известных картинок (например, фракталов).

И конечно же, очаровывает особая форма игр с бесконечностями, при которой изначально кажущийся бесконечным (или как говорят, расходящимся) результат оказывается конечным! Самый яркий пример – уже упоминавшиеся мной выводы о суммировании бесконечных рядов. Вот, скажем, изысканное соотношение: 1+2+3+4+... (да, до бесконечности!)= -1/12. Почему? Благодаря свойствам дзета-функции Римана: по определению дзета-функция от числа n (любого, хоть положительного, хоть отрицательного) – это 1/1^n+1/2^n+1/3^n+... То есть сумма чисел натурального ряда – это просто дзета-функция от (-1). А если погрузиться в свойства этой функции еще глубже (используя аналитическое продолжение), то можно показать, что дзета-функция от (-1) как раз и равна -1/12. Близка к игре с бесконечностями и игра со сверхбольшими числами, которые естественным образом появляются в контексте и астрофизики, и комбинаторики (самый странный пример – не раз обсуждавшееся число Грэма)... Другой, не менее очаровывающей стороной игр с бесконечностями являются совершенно необычные свойства бесконечных множеств, благодаря которым оказывается, что рациональных и даже алгебраических чисел ровно столько же, сколько натуральных (все это иллюстрируется рассказами про бесконечную гостиницу).

При этом практически вся эта красота вполне себе применяется к настоящим физическим теориям! И позволяет получать осмысленные выводы, например, та же дзета-функция от «неправильных», отрицательных аргументов применяется в теориях с конечной температурой, про которые я уже как-то рассказывал. А это означает, что красота имеет глубинный, фундаментальный смысл и связана с гармонией мироустройства, не всегда заметной на первый взгляд.